Penjumlahan dan Pengurangan matriks

Uraian

A. Penjumlahan Matrik

Bagaimana cara menjumlahkan dua atau lebih matriks? Untuk memahami penjumlahan matriks, maka perhatikan tabel di bawah ini.

Tabel di atas menunjukkan daftar pendapatan dari tiket masuk kebun binatang pada bulan pertama dan bulan kedua yang terbagi dalam 2 kelompok, yaitu dewasa dan anak-anak, pada hari biasa dan hari libur. Jika data di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka diperoleh:

Jadi kalian dapat menyelesaikan persoalan ini jauh lebih mudah dibandingkan cara biasa. Untuk lebih jelasnya lihat animasi berikut:

Secara umum operasi penjumlahan dua matriks adalah :



atau secara umum penjumlahan matriks dapat dinyatakan dengan



Untuk lebih jelasnya coba kalian perhatikan contoh berikut ini!




Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa sifat-sifat penjumlahan matriks adalah:

Perhatikanlah contoh berikut ini!



Dari contoh di atas elemen-elemen matriks hasil penjumlahan semuanya bernilai nol. Matriks yang semua elemennya bernilai nol disebut matriks nol, sedangkan kedua matriks yang dijumlahkan disebut matriks yang saling berlawanan. Matriks nol umumnya dinotasikan dengan O.

Jika matriks A + B = O maka B berlawanan dengan A, sehingga B = -A dan A = -B Jika matriks B adalah lawan dari matriks A maka semua elemen matriks B yang seletak berlawanan dengan elemen matriks A.

B. Pengurangan Matriks

Operasi lainnya dalam operasi matriks yaitu pengurangan matriks. Bagaimana cara melakukan pengurangan matriks? Untuk operasi pengurangan dilakukan dengan cara yang sama, bedanya operasi yang digunakan adalah pengurangan. Coba kalian perhatikan animasi berikut ini!
 Secara umum operasi pengurangan dua matriks adalah:



atau secara umum pengurangan matriks dapat dinyatakan dengan



Operasi pengurangan juga dapat dilakukan dengan menjumlahkan matriks pertama dengan lawan matriks kedua.

A - B = A + (-B)

-B disebut invers jumlah atau lawan matriks B. Matriks O, matriks yang semua elemen bernilai 0 adalah matriks Identitas operasi penjumlahan.

Sehingga berlaku persamaan

Selanjutnya perhatikanlah contoh berikut ini!




Berdasarkan contoh-contoh yang diberikan di atas, apakah sudah jelas cara melakukan operasi pengurangan matriks? Kalian dapat mencari contoh-contoh pengurangan matriks lainnya sebagai bahan latihan!

C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Apa yang dimaksud dengan perkalian matriks dengan bilangan skalar? Sebelum penjelasan lebih lanjut, untuk memahami kegunaan operasi perkalian matriks dengan bilangan skalar, perhatikan tabel berikut:

Gaji Karyawan Perusahaan Bulan Januari

Jumlah Gaji Karyawan Bulan Januari, Februari, dan Maret

dengan Tidak Ada Perubahan dalam 3 Bulan

sehingga dalam bentuk matriks, menjadi:



Sehingga secara umum perkalian sebuah matriks dengan bilangan skalar adalah mengalikan semua elemen matriks dengan bilangan skalar yang dimaksud


dengan k bilangan skalar atau bilangan konstan

atau dalam bentuk terperinci



Untuk jelasnya perhatikan animasi berikut!

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Selanjutnya kalian perhatikan contoh berikut ini!
Contoh:




Dari contoh di atas dapat ditunjukkan bahwa pada perkalian bilangan skalar dengan matriks bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan, secara umum dapat dinyatakan dengan



Bagaimana, sudah cukup jelas penjelasan materi di atas? Jika masih ada materi yang belum kalian pahami, tidak ada salahnya kalian ulangi materi tersebut!

Jarak antara titik dengan bidang

Jarak antara titik P dengan bidang  adalah panjang garis proyeksi titik P pada bidang , garis proyeksi tersebut tegak lurus bidang .
Suatu garis tegak lurus dengan bidang jika garis tersebut tegak lurus dengan dua garis yang berpotongan pada bidang yang dimaksud.

Pada gambar di atas  Jarak titik P ke bidang   adalah panjang garis PR sebab PR tegak lurus pada dua garis l dan g yang berpotongan

Perhatikan contoh berikut

Untuk memperkuat atap akan diberi kayu penyangga seperti gambar berikut. Tentukan panjang kayu penyangga terpendek.

Panjang kayu terpendek adalah jarak antara bagian bawah penyangga ke bidang atap yaitu panjang PS

Untuk menghitung PS kita gunakan luas segitiga

Luas PQR dengan alas QR = Luas PQR dengan alas PQ

Jadi Panjang kayu penyangga terpendek kurang lebih 3,328 m

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh beikut

Perhatikan gambar kubus berikut

Jarak titik A ke bidang BCGF adalah panjang ruas garis AB, sebab garis AB tegak lurus pada dua garis berpotongan pada bidang BCGF yaitu BC dan BF

Jarak titik A ke bidang BFHD adalah panjang ruas garis AS, sebab garis AS tegak lurus pada dua garis berpotongan pada bidang BFHD yaitu BD dan ST

Jarak titik C ke bidang BDG adalah panjang ruas garis CX, sebab garis CX tegak lurus pada dua garis berpotongan pada bidang BDG yaitu GY dan GZ

Sudah pahamkah kamu tentang konsep jarak antara titik dengan bidang?
Coba ingat kembali

• Jarak antara titik dengan bidang adalah jarak terpendek antara titik tersebut dengan bidang yang dimaksud
• Jarak terpendek antara titik dengan bidang adalah panjang ruas garis yang melalui titik tersebut dan tegak lurus dengan bidang yang dimaksud
• Suatu garis tegak lurus sebuah bidang jika garis tersebut tegak lurus pada dua garis yang berpotongan dan kedua garis tersebut terletak pada bidang yang dimaksud.
• Jika suatu garis tegak lurus sebuah bidang maka garis tersebut tegak lurus pada semua garis yang terletak pada bidang tersebut.

Untuk memudahkan pembuatan gambar dan memudahkan perhitungan maka letak titik yang menggambarkan jarak tersebut letaknya dapat diprakirakan.

Untuk jelasnya perhatikan contoh berikut ini

1. T.ABCD adalah limas segiempat beraturan dengan panjang rusuk alas 8 cm dan panjang rusuk tegak 10 cm. Tentukan jarak titik T pada bidang ABCD !

Jarak titik T ke bidang ABCD adalah panjang ruas garis TO, sebab TO tegak lurus dengan AC dan BD.

2. T.ABCD adalah limas segiempat beraturan dengan panjang rusuk alas 8 cm dan panjang rusuk tegak 8 cm. Titik O adalah titik potong diagonal bidang alas.  Tentukan jarak titik O pada bidang TBC !

Jarak titik O ke bidang TBC adalah panjang ruas garis OX

Perhatikan segitiga TOY
luas segitiga TOY dengan alas TY = luas segitiga TOY dengan alas OY





Mudah mudahan dengan dua contoh  tersebut kamu lebih memahami bagaimana cara menentukan jarak antara titik dengan bidang.

Cobalah menyelesaiakan soal berikut !
ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara titik E ke bidang BDG !
Perhatikan gambar jarak titik E ke bidang BDG !

Perhatikan gambar jarak titik E ke titik X  pada bidang frontal ACGE

Gunakan luas segitiga GEX dengan alas GX = luas segitiga GEX dengan alas EG

Perhatikan bahwa jarak antara titik E ke bidang BDG adalah dua pertiga dari panjang diagonal ruang.
Coba anda prakirakan berapa jarak antara titik C ke bidang BDG? Coba kamu hitung apakah prakiraan kamu benar?
Cobalah ambil kesimpulan sendiri, sehingga untuk selanjutnya untuk jarak sejenis kamu dapat menggunakan kesimpulan kamu, sehingga perhitungannya menjadi mudah.

Cocokan kesimpulanmu dengan kesimpulan berikut!

Jarak antara Titik dengan Garis

Jarak A ke garis g adalah panjang garis AP sebab jarak adalah lintasan terpendek yang menghubungkan titik A ke garis G, dan ini hanya terjadi jika garis yang menghubungkan tersebut tegak lurus dengan garis G.
Jarak antara titik dengan garis adalah jarak antara titik tersebut dengan  proyeksinya pada garis yang dimaksud.
Proyeksi titik A pada garis g adalah titik P sehingga garis AP tegak lurus garis g

Jarak titik P ke garis AC adalah panjang ruas garis PO, sebab PO tegak lurus AC.
Bukan PA atau PC

Perhatikan contoh berikut
Sebuah dinding akan roboh. Untuk menjaga jangan sampai roboh akan dibuat penyangga dari dua batang besi dengan bentuk berikut.

Jika panjang besi penyangga 5 m dan jarak ujung tangga dari lantai 4, tentukan panjang besi yang diperlukan.

Luas segitiga ABC dengan alas AB = Luas segitiga ABC dengan alas AC

Panjang seluruh pipa yang dibutuhkan = 5 m + 1,4 m = 6,4 m

Dengan contoh di atas apakah kamu sudah mengerti betul apa yang dimaksud dengan jarak antara titik dengan garis?
Coba sebutkan dengan kalimatmu sendiri " Apakah yang dimaksud jarak antara titik P dengan garis l ?"

Agar kamu lebih terampil dalam menghitung jarak antara titik dengan garis,  perhatikan dan cermati betul contoh-contoh berikut ini !

1. Berikut ini adalah gambar kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. P, Q dan R titik tengah EG, CG dan AE. Gambar dan tentukan jarak antara :

1. Titik R ke garis EG
2. Titik G ke garis BD
3. Titik Q ke garis BD
4. Titik E ke garis AP

Jawaban
a. Jarak titik R ke garis EF

Perhatikan gambar jarak titik R ke garis EG  pada bangun ruang



Perhatikan gambar jarak titik R ke garis EG  pada bidang frontal



Dari gambar dapat dilihat bahwa garis RE tegak lurus garis EG sehingga jarak R ke garis EG sama dengan panjang ruas garis RE


Jadi jarak R ke garis EG adalah  3 cm

b. Titik G ke garis BD

Perhatikan gambar jarak titik G ke garis BD  pada bangun ruang !

• Jarak G ke garis BD adalah  panjang ruas garis GS sebab GS tegak lurus BD.
• Titik S berada pada titik tengah ruas garis BD sebab segitiga BDG sama kaki.

Perhatikan gambar jarak titik G ke garis BD  pada bidang frontal





Segitiga BSG siku-siku di S

c. Titik Q ke garis BD

Perhatikan gambar jarak titik Q ke garis BD  pada bangun ruang !

• Jarak Q ke garis BD adalah  panjang ruas garis QS sebab QS tegak lurus BD.
• Titik S berada pada titik tengah ruas garis BD sebab segitiga BDG sama kaki.

untuk mempermudah perhitungan kita ambil bidang ACGE yang memuat garis QS



Panjang ruas garis QS adalah setengah panjang ruas garis AG yang merupakan diagonal ruang kubus

d. Jarak titik E ke garis AP

Perhatikan gambar jarak titik E ke garis AP  pada bangun ruang !

• Jarak E ke garis AP adalah  panjang ruas garis ET sebab ET tegak lurus AP.




untuk mempermudah perhitungan kita ambil bidang ACGE yang memuat garis AP dan ET



Panjang ruas garis EP adalah setengah panjang ruas garis EG yang merupakan diagonal bidang kubus

AE=6

Kamu perhatikan bahwa :
luas segitiga AEP dengan alas AP = luas segitiga AEP dengan alas AE