Pola Bilangan

Uraian

Dalam Kegiatan Belajar 1 ini kamu akan mempelajari tentang beberapa pola bilangan dan bagaimana cara menentukan suku ke n.
                                             
Sekarang kamu sudah tahu cara menemukan pola suatu bilangan. Sebelumnya coba kalian sebutkan pola-pola bilangan lain berdasarkan kejadian yang terjadi di sekitarmu! Bandingkan dengan pendapat temanmu?

Sekarang perhatikanlah contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1
Diketahui suatu barisan bilangan 2, 6, 12, 20, .... Tentukan pola bilangan dan suku ke 20 dari barisan tersebut!
Apakah kamu menemukan jawabannya?

Penyelesaian
Jika u_n adalah suku ke n dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka barisan di atas dapat disajikan dalam tabel berikut ini.

Tabel 1 Pola Bilangan

Berdasarkan tabel di atas diperoleh pola barisan bilangan n(n+1) sehingga suku ke 20 dari barisan tersebut adalah 20(20+1) = 20(21) =420.

Contoh 2
Tentukanlah pola barisan Tentukanlah banyak suku pada barisan tersebut!

Penyelesaiannya
Jika u_n adalah suku ke-n dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka barisan di atas disajikan dalam tabel berikut ini.

Tabel 2 Pola Bilangan

Jika S_n adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka deret dari barisan contoh 2 dapat kamu disajikan dalam tabel Pola Deret berikut.

Tabel Pola Deret

Selanjutnya coba kamu perhatikan pola bilangan-pola bilangan berikut ini!

Tabel 4 Daftar Pola Bilangan

Jadi menurutmu apa yang dimaksud dengan pola bilangan? Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan dengan suatu aturan yang telah diurutkan. Apakah kamu masih merasa kesulitan untuk menentukan pola bilangan dari suatu barisan bilangan? Jika ya maka tidak ada salahnya kamu pelajari kembali contoh-contoh yang telah diuraikan pada Kegiatan Belajar 1 di atas.

Perkalian Dua Matriks

Uraian

Pada bagian materi ini kalian akan mempelajari perkalian dua matriks. Pernahkah kalian melakukan perkalian dua matriks? Bagaimana caranya? Perhatikanlah tabel di bawah ini. Pada tabel sebelah kiri merupakan data mengenai banyaknya buah jeruk dan duku yang dibeli Ana dan Ani. Sedangkan tabel kanan menunjukkan harga jeruk dan duku.

Tabel Banyaknya Buah Jeruk dan Duku (Kiri) dan Harganya (Kanan)

Berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Ana dan Ani? Untuk menjawab itu, maka kalian melakukan perhitungan sebagai berikut.

• Jumlah uang yang harus dibayarkan Ana adalah 2 x Rp 5.000,00 + 1 x Rp 8.000,00 = Rp 18.000,00
• Jumlah uang yang harus dibayarkan Ani adalah 3 x Rp 5.000,00 + 2 x Rp 8.000,00 = Rp 31.000,00

Permasalahan di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut:


Jadi dengan bantuan operasi perkalian matriks ini kalian lebih mudah dalam menyelesaikannya. Perhatikan bahwa ordo matriks pertama adalah 2x2 dan ordo matriks kedua adalah 2x1, sedangkan hasil operasi perkalian berordo 1x1. Lihat skema berikut:

Dari skema di atas dapat disimpulkan:

1. Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom matriks yang dikalikan sama dengan banyaknya baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua buah matriks A_mxn dengan B_nxp adalah sebuah matriks baru C_mxp.



Ilustrasi Ordo Perkalian Matriks


2. Perkalian matriks A dengan matriks B dilakukan dengan menjumlahkan perkalian elemen baris matriks pertama dengan elemen kolom matriks kedua. Elemen baris i kolom j matriks C, adalah penjumlah dari perkalian elemen baris i matriks A dengan kolom j matriks B.

Untuk lebih jelasnya animasi berikut.

Berdasarkan animasi di atas, apakah cukup jelas cara melakukan perkalian dua buah matriks? Selanjutnya kalian perhatikan contoh berikut ini!

B. Pemangkatan Matriks

kalian tentunya tidak asing dengan pemangkatan suatu bilangan? Misalnya 2³ = 2x2x2 = 8. Secara umum dalam pemangkatan bilangan real, untuk aⁿ dengan a  R dan n A maka: aⁿ = a x a x a x a x ... x a sebanyak n kali.

Misal :
a² = a x a
a³ = a x a² = a x a x a

Bentuk pemangkatan tersebut berlaku pada pemangkatan matriks persegi. Jadi kalau A suatu matriks persegi maka:
A . A = A²
A . A . A = A².A = A³
A . A . A . A = A³. A = A⁴

Cermatilah contoh berikut ini!





Dari beberapa contoh dapat diambil kesimpulan tentang sifat-sifat perkalian matriks. Sifat-sifat perkalian matriks:

Penjumlahan dan Pengurangan matriks

Uraian

A. Penjumlahan Matrik

Bagaimana cara menjumlahkan dua atau lebih matriks? Untuk memahami penjumlahan matriks, maka perhatikan tabel di bawah ini.

Tabel di atas menunjukkan daftar pendapatan dari tiket masuk kebun binatang pada bulan pertama dan bulan kedua yang terbagi dalam 2 kelompok, yaitu dewasa dan anak-anak, pada hari biasa dan hari libur. Jika data di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka diperoleh:

Jadi kalian dapat menyelesaikan persoalan ini jauh lebih mudah dibandingkan cara biasa. Untuk lebih jelasnya lihat animasi berikut:

Secara umum operasi penjumlahan dua matriks adalah :



atau secara umum penjumlahan matriks dapat dinyatakan dengan



Untuk lebih jelasnya coba kalian perhatikan contoh berikut ini!




Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa sifat-sifat penjumlahan matriks adalah:

Perhatikanlah contoh berikut ini!



Dari contoh di atas elemen-elemen matriks hasil penjumlahan semuanya bernilai nol. Matriks yang semua elemennya bernilai nol disebut matriks nol, sedangkan kedua matriks yang dijumlahkan disebut matriks yang saling berlawanan. Matriks nol umumnya dinotasikan dengan O.

Jika matriks A + B = O maka B berlawanan dengan A, sehingga B = -A dan A = -B Jika matriks B adalah lawan dari matriks A maka semua elemen matriks B yang seletak berlawanan dengan elemen matriks A.

B. Pengurangan Matriks

Operasi lainnya dalam operasi matriks yaitu pengurangan matriks. Bagaimana cara melakukan pengurangan matriks? Untuk operasi pengurangan dilakukan dengan cara yang sama, bedanya operasi yang digunakan adalah pengurangan. Coba kalian perhatikan animasi berikut ini!
 Secara umum operasi pengurangan dua matriks adalah:



atau secara umum pengurangan matriks dapat dinyatakan dengan



Operasi pengurangan juga dapat dilakukan dengan menjumlahkan matriks pertama dengan lawan matriks kedua.

A - B = A + (-B)

-B disebut invers jumlah atau lawan matriks B. Matriks O, matriks yang semua elemen bernilai 0 adalah matriks Identitas operasi penjumlahan.

Sehingga berlaku persamaan

Selanjutnya perhatikanlah contoh berikut ini!




Berdasarkan contoh-contoh yang diberikan di atas, apakah sudah jelas cara melakukan operasi pengurangan matriks? Kalian dapat mencari contoh-contoh pengurangan matriks lainnya sebagai bahan latihan!

C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Apa yang dimaksud dengan perkalian matriks dengan bilangan skalar? Sebelum penjelasan lebih lanjut, untuk memahami kegunaan operasi perkalian matriks dengan bilangan skalar, perhatikan tabel berikut:

Gaji Karyawan Perusahaan Bulan Januari

Jumlah Gaji Karyawan Bulan Januari, Februari, dan Maret

dengan Tidak Ada Perubahan dalam 3 Bulan

sehingga dalam bentuk matriks, menjadi:



Sehingga secara umum perkalian sebuah matriks dengan bilangan skalar adalah mengalikan semua elemen matriks dengan bilangan skalar yang dimaksud


dengan k bilangan skalar atau bilangan konstan

atau dalam bentuk terperinci



Untuk jelasnya perhatikan animasi berikut!

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Selanjutnya kalian perhatikan contoh berikut ini!
Contoh:




Dari contoh di atas dapat ditunjukkan bahwa pada perkalian bilangan skalar dengan matriks bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan, secara umum dapat dinyatakan dengan



Bagaimana, sudah cukup jelas penjelasan materi di atas? Jika masih ada materi yang belum kalian pahami, tidak ada salahnya kalian ulangi materi tersebut!