Barisan dan Deret Geometri

Uraian

Barisan Geometri

Apakah kamu pernah menabung di bank? Jika ya, tentunya kamu diberikan buku tabungan oleh bank. Pernahkah kamu mencermati perubahan nilai-nilai uang kamu per bulan dalam buku tabungan? Perubahan nilai uang kamu yang tertera dalam buku tabungan berubah sesuai dengan tingkat bunga bank tempat kamu menabung. Nah, perubahan nilai uang kamu dalam buku tabungan merupakan salah satu contoh bentuk barisan geometri.

Bank dan buku tabungan

Apa yang kamu ketahui tentang barisan dan deret geometri? Coba kamu sebutkan kejadian sehari-hari lainnya yang terkait dengan barisan atau deret geometri.
Dalam Kegiatan Belajar 3 ini, kamu akan mempelajari tentang Barisan dan Deret Geometri. Silahkan kamu simak uraian berikut ini.
Amin menjatuhkan bola dari atas meja yang tingginya 120 cm. Setiap kali menyentuh lantai memantul kembali setengah dari tinggi semula. Berapa tingginya setelah memantul yang ke-8.



Jadi ketinggian bola setelah mantul ke-8 adalah 1,875 cm.
Selanjutnya, perhatikan juga contoh kasus berikut ini!
Dani memiliki selembar kertas, berikut disajikan selembar kertas.

Selembar kertas

Kemudian Dani melipatnya menjadi dua bagian yang sama besar.

Selembar kertas pada lipatan pertama

Kertas yang terlipat ini, kemudian dilipat dua lagi olehnya

Selembar kertas pada lipatan kedua

Dani terus melipat dua kertas yang sudah terlipat sebelumnya. Kemudian ia membuka hasil lipatan kertas tersebut setiap setelah melipatnya. Dani menemukan sebuah pola bagian kertas yang terbentuk setelah dilipat yang disajikan sebagai berikut.

Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang sama, yaitu
bilangan ini disebut barisan geometri.

Jadi apa yang dimaksud dengan barisan geometri? Berdasarkan kasus tinggi pantulan bola dan banyaknya bagian kertas yang terbagi setelah dilipat maka dapat disimpulkan bahwa barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai perbandingan (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio dinotasikan r yang merupakan nilai perbandingan dua suku berurutan. Nilai r dinyatakan dengan
Agar kamu semakin memahami tentang barisan geometri, pelajarilah contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1
Tentukan suku ke 10 dari barisan geometri 1, 3, 9, 27, ...

Penyelesaian

Berikut ini beberapa contoh penerapan barisan geometri.
Menurut Robert Malthus, dalam mengukur Pertumbuhan Penduduk mengikuti Barisan Geometri (Ukur), Secara Matematis dapat dirumuskan:

Contoh 3
Di Kota P pada tahun 2002 jumlah penduduknya sebanyak 4.000.000 jiwa. menurut historis perhitungan tingkat pertumbuhan penduduknya sebesar 5% pertahun. Berapa jumlah penduduk di Kota P tahun 2006?


Nah, coba kamu cari penyelesaian dari soal berikut!
Tentukan k sehingga tiga suku 2k+2, 5k-11, 7k-13 membentuk barisan geometri!
Kamu sudah mendapat jawabannya? Bandingkan dengan jawaban berikut ini, silakan tekan tombol

Apakah kamu sudah memahami materi barisan geometri? Jika ya, ikutilah materi selanjutnya tentang deret geometri.

Deret Geometri

Perhatikan gambar kelompok kumpulan kelereng berikut

Kelompok kelereng

Berapakah banyaknya semua kelereng  jika ada  7 kelompok? Jika kamu akan menghitung tanpa rumus, perhatikan cara berikut ini!

atau 

Selanjutnya perhatikan contoh penyelesaian deret geometri berikut!

Contoh 1

Penyelesaian

Contoh 2

Deret dalam Mengukur Bunga Majemuk
Model deret untuk bunga majemuk (Bunga berbunga) ialah barisan geometri khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan. Transaksi dengan model ini disebut kredit.

Rumus:

Rumus ini untuk kredit sistem pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali. Sebaiknya jika suku bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun rumusnya menjadi:



Dimana :  
Fn = Jumlah nilai kredit dengan n periode   
i   = Suku bunga kredit   
P   = Jumlah nilai kredit awal periode   
n   = Banyaknya tahun

Perhatikan contoh penyelesaian berikut!
Adi kredit motor dengan uang muka Rp 10.000.000,- sisa kreditnya yaitu Rp 30.000.000,- dengan suku bunga kredit 2% per bulan dalam jangka waktu 2 tahun. Berapakah jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan dan berapakah jumlah harga motor?

Diketahui :
   P = 30.000.000
   i  = 2% = 0,02
   n = 2 tahun = 2.12 = 24

Ditanyakan : Berapakah jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan dan berapakah jumlah harga motor?

Jadi, jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan adalah Rp 48.253.117,48 Sedangkan harga motor sebesar  = Fn + 10.000.000    
                                                 = 48.253.117,48 + 10.000.000  
                                                 = 58.253.117,48

Deret tak hingga

Deret tak hingga adalah deret geometri konvergen atau suku-sukunya mengecil untuk nilai n tak hingga


Perhatikan contoh berikut!
Contoh 1


Penyelesaian Deret tersebut merupakan deret tak hingga dengan a = ½ dan r = ½, sehingga jumlah deret tak hingga dapat diperoleh dengan

Contoh 2

Penyelesian

Barisan dan deret Aritmetika

Uraian

Sebelum kamu mempelajari tentang materi selanjutnya, bagaimana kalau kamu lihat keadaan di lingkunganmu. Coba kamu keluar dari ruanganmu dan menurut pengamatanmu apakah ada benda-benda yang disusun dengan pola tertentu? Catatlah hasil pengamatanmu dalam buku catatan!
Pada kegiatan belajar 2 ini kamu akan mempelajari tentang barisan dan deret aritmetika. Menurutmu pemahamanmu apa yang dimaksud dengan barisan dan deret aritmatika?

Coba perhatikanlah gambar berikut ini!

Susunan gelas

Pernahkah kamu melakukan susunan gelas seperti pada gambar? Bagaimana susunannya? Nah, misalnya kamu membuat susunan dengan jumlah gelas dari susunan paling bawah ke susunan paling atas 4, 3, 2, 1. Apakah susunan banyaknya gelas per tingkat membentuk sebuah pola?
Berdasarkan susunan tersebut terlihat bahwa beda jumlah gelas dalam setiap susun adalah 1.

Berdasarkan uraian di atas, jadi apa yang dimaksud dengan barisan bilangan? Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang mempunyai aturan tertentu. Sedangkan suatu barisan bilangan dengan pola bilangan tertentu berupa penambahan tetap disebut barisan aritmetika, bilangan yang digunakan untuk menambah disebut beda.




Contoh 1

Tentukan nilai dari suku ke-n pada barisan di bawah ini!

1. 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...tentukan suku ke-15!
2. 4, 1, -2, -5, -8, ... tentukan suku ke-18!

Penyelesaian



Mudah bukan cara menentukan suku ke-n dari suatu barisan? Selanjutnya perhatikanlah contoh selanjutnya!



Bagaimana cara mencari suku tengah dari suatu barisan aritmetika? Coba kamu perhatikan contoh 3 berikut ini!

Contoh 3
Diketahui barisan aritmetika 3, 5, 7, ...95. Carilah suku tengah dari barisan tersebut!
Penyelesaian
Untuk menghitung suku tengah kamu harus menghitung banyaknya suku terlebih dahulu.
Dalam hal ini a=3 dan b=2, sehingga
95 = a+(n-1)b
     = 3+(n-1)2
     = 2n +1
Jadi 2n = 94 atau n = 47



Contoh selanjutnya merupakan salah satu contoh penerapan barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikanlah di bawah ini!

Contoh 4
Setiap hari Erlina menabungkan sisa uang  jajannya. Uang yang ditabung setiap hari selama enam hari mengikuti pola barisan aritmetika dengan suku pertama a = 500 dan beda = 500. Bagaimana cara mengetahui banyaknya uang Erlina yang ditabung pada hari ke enam?

Penyelesaian

Bagaimana dengan permasalahan di bawah ini? Silakan diskusikan dengan temanmu!
Seorang pekerja menerima gaji sebesar Rp 100.000,- per bulan. Setiap 6 bulan ia akan menerima kenaikan gaji sebesar Rp 7500,-. Tentukan gajinya setelah 15 tahun kerja?

Deret Aritmetika

Apa yang kamu ketahui tentang deret aritmetika? Pernahkah kamu menemukan permasalahan yang terkait dengan deret aritmetika? Coba kamu perhatikan gambar tumpukan pipa berikut!

Tumpukan pipa

Berapakah banyaknya pipa jika kita menumpuk sebanyak 8 lapis? Barisan bilangan yang menunjukan banyaknya pipa tiap lapisan 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7 adalah barisan bilangan aritmetika dengan beda = 1. Jumlahnya dapat ditentukan dengan  menjumlahkan deret tersebut dengan deret yang sama tetapi suku-sukunya dibalik urutannya.


Perhatikan bahwa 21 adalah suku awal di tambah suku akhir dengan banyaknya suku  adalah 8.
Sehingga rumus jumlah n suku dari deret aritmetika diduga

Untuk lebih jelasnya coba kamu cermati cara memperoleh rumus jumlah deret aritmetika berikut ini!
Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika dapat dinyatakan dengan



Jadi deret aritmetika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmetika. Sehingga suku ke n dari deret yang dibentuk dari barisan aritmetika a, a+b, a+2b, ... adalah


Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1  
Diketahui barisan aritmetika 3, 5, 7, 9, 11, ....Tentukan empat suku pertama dari deret yang dibangun dari barisan aritmetika!

Penyelesaian


Bagaimana dengan contoh di atas? Mudah bukan cara menentukan suku dari deret aritmetika? Selanjutnya perhatikan contoh berikutnya!

Contoh 2 
Carilah jumlah bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9!

Penyelesaian
Bilangan bulat yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah  9, 18, 27, ..., 99
Bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika dengan a = 9, b = 9 dan un = 99. Selanjutnya akan ditentukan nilai n sebagai berikut:


Contoh 3 
Suatu gedung pertunjukan kursi disusun melingkar. Baris pertama adalah 20 kursi, baris berikutnya bertambah 6 dibandingkan dengan baris sebelumnya. Pada baris terakhir ada 104 kursi.

1. Tentukan banyaknya baris kursi dalam gedung tersebut!
2. Tentukan jumlah kursi seluruhnya pada gedung pertunjukan tersebut!

Gedung pertunjukan

Cukup jelas dengan contoh-contoh yang diberikan di atas? Apakah kamu masih memiliki menginginkan contoh lainnya? Coba kamu cari dari sumber lainnya atau diskusikan dengan temanmu!

Selamat, kamu telah menyelesaiakan materi Kegiatan Belajar 2. Kamu juga telah mencoba contoh-contoh penyelesaiannya. Selanjutnya bacalah rangkuman materi untuk mengingatkan kembali hal-hal penting yang kamu telah pelajari. Jangan lupa kerjakanlah latihan 2, jika mengalami kesulitan pelajarilah kembali materinya atau diskusikan dengan guru dan temanmu!

Pola Bilangan

Uraian

Dalam Kegiatan Belajar 1 ini kamu akan mempelajari tentang beberapa pola bilangan dan bagaimana cara menentukan suku ke n.
                                             
Sekarang kamu sudah tahu cara menemukan pola suatu bilangan. Sebelumnya coba kalian sebutkan pola-pola bilangan lain berdasarkan kejadian yang terjadi di sekitarmu! Bandingkan dengan pendapat temanmu?

Sekarang perhatikanlah contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1
Diketahui suatu barisan bilangan 2, 6, 12, 20, .... Tentukan pola bilangan dan suku ke 20 dari barisan tersebut!
Apakah kamu menemukan jawabannya?

Penyelesaian
Jika u_n adalah suku ke n dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka barisan di atas dapat disajikan dalam tabel berikut ini.

Tabel 1 Pola Bilangan

Berdasarkan tabel di atas diperoleh pola barisan bilangan n(n+1) sehingga suku ke 20 dari barisan tersebut adalah 20(20+1) = 20(21) =420.

Contoh 2
Tentukanlah pola barisan Tentukanlah banyak suku pada barisan tersebut!

Penyelesaiannya
Jika u_n adalah suku ke-n dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka barisan di atas disajikan dalam tabel berikut ini.

Tabel 2 Pola Bilangan

Jika S_n adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka deret dari barisan contoh 2 dapat kamu disajikan dalam tabel Pola Deret berikut.

Tabel Pola Deret

Selanjutnya coba kamu perhatikan pola bilangan-pola bilangan berikut ini!

Tabel 4 Daftar Pola Bilangan

Jadi menurutmu apa yang dimaksud dengan pola bilangan? Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan dengan suatu aturan yang telah diurutkan. Apakah kamu masih merasa kesulitan untuk menentukan pola bilangan dari suatu barisan bilangan? Jika ya maka tidak ada salahnya kamu pelajari kembali contoh-contoh yang telah diuraikan pada Kegiatan Belajar 1 di atas.

Perkalian Dua Matriks

Uraian

Pada bagian materi ini kalian akan mempelajari perkalian dua matriks. Pernahkah kalian melakukan perkalian dua matriks? Bagaimana caranya? Perhatikanlah tabel di bawah ini. Pada tabel sebelah kiri merupakan data mengenai banyaknya buah jeruk dan duku yang dibeli Ana dan Ani. Sedangkan tabel kanan menunjukkan harga jeruk dan duku.

Tabel Banyaknya Buah Jeruk dan Duku (Kiri) dan Harganya (Kanan)

Berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Ana dan Ani? Untuk menjawab itu, maka kalian melakukan perhitungan sebagai berikut.

• Jumlah uang yang harus dibayarkan Ana adalah 2 x Rp 5.000,00 + 1 x Rp 8.000,00 = Rp 18.000,00
• Jumlah uang yang harus dibayarkan Ani adalah 3 x Rp 5.000,00 + 2 x Rp 8.000,00 = Rp 31.000,00

Permasalahan di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut:


Jadi dengan bantuan operasi perkalian matriks ini kalian lebih mudah dalam menyelesaikannya. Perhatikan bahwa ordo matriks pertama adalah 2x2 dan ordo matriks kedua adalah 2x1, sedangkan hasil operasi perkalian berordo 1x1. Lihat skema berikut:

Dari skema di atas dapat disimpulkan:

1. Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila banyaknya kolom matriks yang dikalikan sama dengan banyaknya baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua buah matriks A_mxn dengan B_nxp adalah sebuah matriks baru C_mxp.



Ilustrasi Ordo Perkalian Matriks


2. Perkalian matriks A dengan matriks B dilakukan dengan menjumlahkan perkalian elemen baris matriks pertama dengan elemen kolom matriks kedua. Elemen baris i kolom j matriks C, adalah penjumlah dari perkalian elemen baris i matriks A dengan kolom j matriks B.

Untuk lebih jelasnya animasi berikut.

Berdasarkan animasi di atas, apakah cukup jelas cara melakukan perkalian dua buah matriks? Selanjutnya kalian perhatikan contoh berikut ini!

B. Pemangkatan Matriks

kalian tentunya tidak asing dengan pemangkatan suatu bilangan? Misalnya 2³ = 2x2x2 = 8. Secara umum dalam pemangkatan bilangan real, untuk aⁿ dengan a  R dan n A maka: aⁿ = a x a x a x a x ... x a sebanyak n kali.

Misal :
a² = a x a
a³ = a x a² = a x a x a

Bentuk pemangkatan tersebut berlaku pada pemangkatan matriks persegi. Jadi kalau A suatu matriks persegi maka:
A . A = A²
A . A . A = A².A = A³
A . A . A . A = A³. A = A⁴

Cermatilah contoh berikut ini!





Dari beberapa contoh dapat diambil kesimpulan tentang sifat-sifat perkalian matriks. Sifat-sifat perkalian matriks: