Kompetensi Dasar :
1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana
2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret
Barisan Bilangan Sederhana
Barisan bilangan dibentuk oleh bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu. Barisan bilangan ini dapat kita teruskan suku-sukunya apabila aturan untuk memperoleh suku berikutnya sudah ditentukan.
Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
1, 2, 4, 7, 11, ...
Artinya : Suku pertama ditulis U1 = 1
Suku ke-dua ditulis U2 = 2
Suku ke-tiga ditulis U3 = 4
Suku ke-empat ditulis U4 = 7
Dan seterusnya ... Suku ke-n ditulis Un
Perhatikan barisan bilangan berikut ini :
1, 2, 4, 7, 11, ...
Artinya : Suku pertama ditulis U1 = 1
Suku ke-dua ditulis U2 = 2
Suku ke-tiga ditulis U3 = 4
Suku ke-empat ditulis U4 = 7
Dan seterusnya ... Suku ke-n ditulis Un
Suku berikutnya dari barisan tersebut dapat diteruskan dengan aturan ”menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”
Perhatikan barisan bilangan berikut :
”Suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan bilangan asli berurutan mulai dari suku pertama”.
Dengan cara di atas maka untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan meneruskan pola yang ada. Namun demikian, untuk n yang besar misalnya n = 50, kita akan mengalami kesulitan, untuk itu akan kita pelajari bagaimana menentukan suku ke-n dengan menggunakan rumus Un
Contoh-contoh barisan bilangan khusus antara lain :
- Barisan Bilangan Asli : 1, 2, 3, 4, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = n
Suku ke-10 adalah U10 = 10 - Barisan Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = 2n
Suku ke-20 adalah U20 = 2 x 20 = 40 - Barisan Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = 2n – 1
Suku ke-15 adalah U15 = 2 x 15 – 1 = 29 - Barisan Bilangan Kuadrat / persegi : 1, 4, 9, 16, ...
Rumus suku ke-n adalah Un = n2
Suku ke-12 adalah U12 = 122 = 144
Barisan bilangan juga dapat diperoleh dari pengembangan pola yang teratur, contoh :
- Barisan Bilangan Persegi Panjang : 2, 6, 12, 20, ...
Pola , ...
Rumus suku ke-n adalah Un = n(n+1)
Suku ke-8 adalah U8 = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72
Suku ke-8 adalah U8 = 8 (8+1) = 8 x 9 = 72
- Barisan Bilangan Segitiga : 1, 3, 6, 10, ...
Pola , ...
Rumus suku ke-n adalah Un = ½ n(n+1)
Suku ke-10 adalah U10 = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55
Suku ke-10 adalah U10 = ½ x 10 (10+1) = 5 x 11 = 55
- Barisan Bilangan Pada Segitiga Pascal
Baris ke-n diperoleh dengan menjumlahkan dua suku berurutan pada baris sebelumnya
Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1 = 1 = 20 = 21-1
Jumlah bilangan pada baris ke-2 = 1 + 1 = 2 = 21 = 22-1
Jumlah bilangan pada baris ke-3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 22 = 23-1
Jumlah bilangan pada baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 = 24-1Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n-1
Jumlah bilangan pada baris ke-1 = 1 = 1 = 20 = 21-1
Jumlah bilangan pada baris ke-2 = 1 + 1 = 2 = 21 = 22-1
Jumlah bilangan pada baris ke-3 = 1 + 2 + 1 = 4 = 22 = 23-1
Jumlah bilangan pada baris ke-4 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 = 24-1Rumus jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n-1
Barisan Aritmetika
Adalah barisan bilangan yang suku berikutnya didapat dari penambahan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap (tertentu), bilangan yang tetap tersebut dinamakan beda (b)
- Barisan bilangan : 2, 5, 8, 11, ...
Suku awal / suku pertama atau a = 2
Beda atau b = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3
Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika naik - Barisan bilangan : 20, 18, 16, 14, ...
Suku awal / suku pertama atau a = 20
Beda atau b = 18 – 20 = 16 – 18 = 14 – 16 = -2
Barisan tersebut dinamakan barisan aritmetika turun
Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Aritmetika
U1 = a = a + (1-1)b
U2 = a + b = a + (2-1)b
U3 = a + 2b = a + (3-1)b
U4 = a + 3b = a + (4-1)b
…
Un = a + (n-1) b
U2 = a + b = a + (2-1)b
U3 = a + 2b = a + (3-1)b
U4 = a + 3b = a + (4-1)b
…
Un = a + (n-1) b
Jadi rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah :
dengan Un = Suku ke-n
a = suku awal / suku pertama
b = beda
a = suku awal / suku pertama
b = beda
Contoh :
Tentukan suku ke-15 dan suku ke-20 dari barisan : 1 , 4 , 7 , 10 , ...
Jawab :
a = 1
b = 4 – 1
= 7 – 4
= 3
Un = a + (n-1) b
U15 = 1 + (15 – 1) x 3
= 1 + 14 x 3
= 1 + 42
= 43
U20 = 1 + (20 – 1) x 3
= 1 + 19 x 3
= 1 + 57
= 58
Un = a + (n-1) b
U15 = 1 + (15 – 1) x 3
= 1 + 14 x 3
= 1 + 42
= 43
U20 = 1 + (20 – 1) x 3
= 1 + 19 x 3
= 1 + 57
= 58
Jadi suku ke-15 = 43 dan suku ke-20 = 58
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah Barisan bilangan yang suku-suku berikutnya diperoleh dari hasil kali suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang tidak sama dengan nol.
Bilangan tetap tersebut dinamakan pembanding (rasio)
- Barisan bilangan : 2, 6, 18, 54, ...
Suku awal / suku pertama atau a = 2
Rasio atau r = 6 : 2 = 18 : 6 = 54 : 18 = 3
Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik - Barisan bilangan : 20, 10, 5, 2,5 , ...
Suku awal / suku pertama atau a = 20
Rasio atau r = 10 : 20 = 5 : 10 = ½
Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun
Rumus Suku ke-n (Un) dari Barisan Geometri
U1 = a = a x r1-1
U2 = a x r = a x r2-1
U3 = a x r2 = a x r3-1
U4 = a x r3 = a x r4-1
…
Un = a x rn-1
Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah :
dengan Un = suku ke-n
a = suku awal / suku pertama
r = rasio
Contoh :
Tentukan suku ke-9 dari barisan : 2 , 4 , 8 , 16 , ...
Tentukan suku ke-9 dari barisan : 2 , 4 , 8 , 16 , ...
Jawab :
a = 2 , r = 4 : 2 = 8 : 4 = 2
Un = a x rn-1
a = 2 , r = 4 : 2 = 8 : 4 = 2
Un = a x rn-1
U9 = 2 x 29-1
= 2 x 28
= 2 x 256
= 512
Jadi suku ke-9 adalah 512
Jadi suku ke-9 adalah 512
Deret Aritmetika
Apabila barisan bilangan aritmetika dijumlahkan maka akan terbentuk deret Aritmetika
Contoh :
Barisan Aritmetika : 2, 6 , 10 , 14 , ... .
Deret Aritmetika : 2 + 6 + 10 + 14 + ... .
Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan Sn
Jadi S1 = U1 = 2
S2 = U1 + U2 = 2 + 6 = 8
S3 = U1 + U2 + U3 = 2 + 6 + 10 = 18
S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 2 + 6 + 10 + 14 = 32
.....
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + Un
Sn = Un + Un - b + Un – 2b + ... + a
----------------------------------------------- +
2.Sn = (a + Un) + (a + Un) + ... + (a +Un)
2.Sn = n (a + Un)
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + Un
Sn = Un + Un - b + Un – 2b + ... + a
----------------------------------------------- +
2.Sn = (a + Un) + (a + Un) + ... + (a +Un)
2.Sn = n (a + Un)
, karena Un = a + (n-1)b, maka Sn = (a + Un)
atau = (a + a + (n-1) b )
= (2a + (n – 1) b)
= (2a + (n – 1) b)
dengan Sn = jumlah n suku pertama
a = suku awal
a = suku awal
b = beda
Contoh :
Jumlah dari 100 + 95 + 90 + 85 + ... + 5 = ...
Jawaban :
a = 100
b = 95 – 100
= 90 – 95
= -5
Un = a + (n-1)b
5 = 100 + (n-1)(-5)
95 = (n-1)(-5)
19 = (n-1)
n = 20
Sn = (2a + (n – 1) b)
S20 = (2x100 + (20 – 1)(-5))
=10 (200 - 95)
=10 (105)
=1050
Jadi jumlah dari 100 + 95 + 90 + 85 + ... + 5 = 1.050
Deret Geometri
Apabila barisan bilangan geometri dijumlahkan maka akan terbentuk deret geometri
Contoh :
Barisan geometri : 2, 6 , 18 , 54 , ... .
Deret geometri : 2 + 6 + 18 + 54 + ... .
Jumlah n suku pertama deret aritmetika ditulis dengan Sn
Jadi S1 = U1 = 2
S2 = U1 + U2 = 2 + 6 = 8
S3 = U1 + U2 + U3 = 2 + 6 + 18 = 26
S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 2 + 6 + 18 + 54 = 80
...
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un
Sn = a + (ar) + (ar2) + ... + arn-1
Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un
Sn = a + (ar) + (ar2) + ... + arn-1
r x Sn = (ar) + (ar2) + .... + arn-1 + arn -
Sn– r.Sn = a + 0 + 0 + + 0 + arn
(1 – r)Sn = a – arn
(1 – r)Sn = a (1 – rn)
Sn– r.Sn = a + 0 + 0 + + 0 + arn
(1 – r)Sn = a – arn
(1 – r)Sn = a (1 – rn)
untuk nilai r < 1, atau , untuk r > 1
dengan Sn = jumlah n suku pertama
a = suku awal
a = suku awal
r = rasio
Contoh :
Jumlah dari 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = ...
Jumlah dari 400 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = ...
Jawaban :
a = 400
r = 200 : 400
= 100 : 200
= ½
n = 6
n = 6
Jadi jumlah dari 500 + 200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 = 787,5
Post a Comment
Tinggalkan Pesan Anda disini