Bilangan Berpangkat

Uraian

Dalam Kegiatan Belajar 1 ini kamu akan mempelajari tentang bilangan berpangkat.
Pernahkah kamu memotong sebuah kertas menjadi dua bagian yang sama ukurannya? Kemudian masing-masing potongan kertas itu kamu potong lagi menjadi dua bagian yang sama, selanjutnya hasil potongan kertas tersebut kamu potong lagi masing-masing menjadi dua bagian yang sama. Jika kamu melakukan hal tersebut secara terus menerus, berapakah jumlah potongan kertas yang diperoleh setiap kali memotong pada bagian yang sama?

Jika kamu perhatikan pada 2 x 2 =4 merupakan perkalian berulang bilangan 2 sebanyak 2 kali, bentuk perkalian 2 x 2 x 2 = 8 merupakan perkalian berulang bilangan 2 sebanyak 3 kali, dan bentuk perkalian 2 x 2 x 2 x 2 = 16 merupakan perkalian berulang bilangan 2 sebanyak 4 kali.
Bentuk umum perkalian berulang axaxaxax...., sebanyak n faktor tersebut merupakan bentuk bilangan berpangkat yangdapat dinyatakansebagai berikut,

Sehingga jumlah potongan kertas tersebut dapat dinyatakan dengan bilangan berpangkat:

2 = 2¹ = 2
2 x 2 =2² = 4
2 x 2 x 2 = 2³ = 8
2 x 2 x 2 x 2 = 2⁴ = 16

Bilangan 2¹,2²,2³, 2⁴ itulah yang disebut bilangan berpangkat. Notasi pangkat merupakan suatu cara untuk menyederhanakan penulisan atau meringkas penulisan. Misalnya contoh yang lain 10.000.000 dapat ditulis dengan notasi pangkat yaitu: 10⁷(baca: 10 pangkat 7). Dengan notasi pangkat tempat penulisan lebih hemat.
Secara umum bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut:


Notasi pangkat banyak digunakan dalam perumusan dan penyederhanaan perhitungan.
Bentuk 3² dibaca: "3 pangkat 2". 3² disebut bilangan berpangkat bulat positif. Bilangan 3 disebut bilangan pokok atau bilangan dasar dan bilangan “2” yang ditulis agak di atas disebut pangkat atau eksponen.
Sejauh ini, kamu sudah paham kan yang dimaksud dengan bilangan berpangkat. Coba kamu cari bentuk lain dari bilangan berpangkat yang penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari!

Perhatikan contoh berikut ini!
Contoh 1
Nyatakan dalam bentuk pangkat

1. t x t x t x t x t
2. (x+y)(x+y)(x+y)

Penyelesaian

1. t x t x t x t x t = t⁵
2. (x+y)(x+y)(x+y)= (x+y)³

Pada uraian materi Kegiatan Belajar 1 ini hanya akan dibahas bilangan berpangkat bilangan bulat. Coba kamu ingat-ingat kembali apa yang dimaksud dengan bilangan bulat! Tentu saja bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Apakah ada perbedaan jika suatu bilangan berpangkat bilangan bulat positif, bilangan nol, atau bilangan bulat negatif? Jika kamu ingin mengetahui perbedaanya, pelajarilah penjelasan berikut!

A. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Seperti yang kamu ketahui bilangan bulat positif merupakan himpunan bilangan positif 1, 2, 3, 4, 5, …. Contoh-contoh bilangan berpangkat yang sudah ditampilkan sebelumnya merupakan bilangan berpangkat bulat positif.Apakah (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = (-4)⁵ merupakan bilangan berpangkat bulat positif?
Bilangan (-4)⁵ dapat diartikan sebagai perkalian (-4) dengan (-4) yang diulang sebanyak 5 kali. Oleh karenanya, bilangan berpangkat (-4)⁵ merupakan bilangan berpangkat bulat positif. Coba kamu jelaskan alasannya!
Selanjutnya bagaimana perhitungan antara dua atau lebih bilangan berpangkat bulat positif. Berikut ini akan dijelaskan sifat-sifat bilangan berpangkat positif!Sebagai catatan, pada penulisan operasi perkalian dapat menggunakan tanda silang “x” atau titik “.”.

Bagaimana untuk membuktikan sifat tersebut? Coba kamu diskusikan dengan temanmu! Jika sudah dapat jawabannya, silahkan bandingkan dengan hasil berikut, klik pada kotak “Bukti Sifat 1”!

Perhatikan contoh berikut!
Contoh 1
Tentukan nilai dari 3⁴.3⁵!

Penyelesaian
3⁴.3⁵ = (3.3.3.3).(3.3.3.3.3)=3.3.3.3.3.3.3.3.3 = 3⁴⁺⁵ =3⁹

Bagaimana untuk membuktikan sifat 2? Coba kamu selesaikan! Jika sudah dapat jawabannya, silahkan bandingkan dengan hasil berikut, klik pada kotak “Bukti Sifat 2”!


Sudah paham dengan bukti dari sifat 2? Selanjutnya lihatlah contoh 2 berikut ini!
Contoh 2


Penyelesaian

Jika ingin mengetahui pembuktiannya, klik pada kotak “Bukti Sifat 3”!

Untuk lebih jelasnya, kamu perhatikan contoh 3 berikut ini!
Contoh 3
Tentukan nilai dari (3²)⁴!

Penyelesaian
(3²)⁴ = (3.3)⁴ = (3.3)(3.3)(3.3)(3.3) = 3.3.3.3.3.3.3.3 = 3⁸

Bagaimana kamu menyelesaikan soal di bawah ini!
a. (2.5)⁴

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat bulat akan diperoleh hasil berikut ini.
a. (2.5)⁴ = (2.5)(2.5)(2.5)(2.5) = (2.2.2.2)(5.5.5.5) = 2⁴.5⁴


Dengan cara yang sama kamu dapat membuktikan sendiri sifat-sifat bilangan berpangkat tersebut!
Contoh 4
Penggunaan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat positif:
2³ x 2² = 2³⁺² = 2⁵
10^-1 x 10⁵ = 10^-1+5 = 10⁴
5 x 5⁵ = 5¹⁺⁵ = 5⁶
2³ : 2² = 2^3-2 = 2¹ = 2
10^-1 : 10⁵ = 10^-1-5 = 10^-6
5 : 5⁵ = 5^1-5 = 5^-4
(3⁴)² = 3^4x2 = 3⁸
(6^-2)³ = 6^-2x3 = 6^-6
(2 x 5)² = 2² x 5² = 4 x 25 = 100
2⁴ x 5⁴ = (2 x 5)⁴ = 10⁴ = 10000
(2 : 5)² = 2² : 5² = 4 : 25 = 1/4
2⁴ : 5⁴ = (2 : 5)⁴

B. Bilangan Berpangkat Nol

Bagaimana jika suatu bilangan berpangkat nol? Tahukah kamu berapa hasilnya? Diskusikanlah dengan temanmu!
Untuk mengetahui hasil dari suatu bilangan yang berpangkat nol, coba kamu perhatikan perhitungan berikut yang menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat positif.


Apa pendapatmu berdasarkan contoh tersebut? Jika kamu masih kurang jelas, coba perhatikan contoh berikut ini!


Berdasarkan kedua contoh di atas, kamu dapat menyimpulkan sendiri bahwa bilangan berpangkat nol adalah 1. Bagaimana dengan (-7)⁰ atau 10000, berapa hasilnya?



Apa yang terjadi jika bilangan pokok a = 0 dipangkatkan 0? Diskusikanlah dengan temanmu atau tanyakanlah kepada gurumu!

Coba kamu ingat kembali sifat 2 dari bilangan bulat positif!

Untuk kasus m = n


Bukti:


Apa yang dapat kamu simpulkan berdasarkan definisi dan sifat 2 dari bilangan berpangkat positif? Ya, tentu saja nilai dari suatu bilangan (kecuali nol) berpangkat nol adalah 1

C. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

Menurutmu, apa yang terjadi jika suatu bilangan berpangkat bulat negatif? Berdasarkan sifat
a^m:a ⁿ=a^m-n, perhatikan perhitungan berikut!

Hasil dari perhitungan tersebut menunjukkan sifat operasi bilangan berpangkat bulat negatif.



Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut:

Coba kamu selesaikan contoh soal berikut!
Contoh 5
Jika nilai x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x^-3y⁴!

Penyelesaian:


Nah, sudah jelaskan bagaimana cara menentukan penyelesaian bilangan berpangkat bulat?

Berikut ini beberapa contoh soal yang berkaitan dengan bilangan berpangkat bulat.
Contoh 6
1. Sederhanakan

Penyelesaian

2. Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu tersisa dalam darah setelah:

a) 1 jam?
b) 2 jam?
c) 3 jam?
d) Buatlah model matematika pengurangan zat tersebut dari tubuh melalui ginjal!

Penyelesaian

Apakah kamu masih merasa kesulitan untuk menentukan penyelesaian yang berkaitan dengan bilangan berpangkat? Jika ya maka tidak ada salahnya kamu pelajari kembali uraian materi dan contoh-contoh yang telah diuraikan pada Kegiatan Belajar 1 di atas.
.............................

Pada kegiatan belajar 2 ini kamu akan mempelajari tentang bilangan berpangkat pecahan. Menurut pemahamanmu, coba sebutkan contoh bentuk bilangan berpangkat pecahan!
Perhatikan contoh perhitungan berikut!

Contoh tersebut menunjukkan bahwa ada bilangan berpangkat pecahan. Selanjutnya perhatikan definisi berikut!





Apakah sifat-sifat operasi pada bilangan berpangkat bulat berlaku pada operasi bilangan berpangkat pecahan? Diskusikan dengan temanmu!




Bagaimana untuk membuktikan sifat 4? Coba kamu selesaikan! Jika sudah dapat jawabannya, silahkan bandingkan dengan hasil berikut, klik pada kotak “Bukti Sifat 4”!





Coba kamu buktikan sendiri sifat 5 di atas!
Selanjutnya perhatikan contoh-contoh berikut!

Contoh 7
1. Nyatakan dalam pangkat paling sederhana

Penyelesaian

2. Hitunglah

Penyelesaian

Mudah bukan cara menyelesaikan soal tersebut? Selanjutnya akan dijelaskan tentang bilangan berpangkat dalam bentuk akar.
Bilangan berpangkat pecahan dalam bentuk akar
Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari pemangkatan suatu bilangan. Akar dilambangkan dengan notasi . Untuk mempermudah penulisan bilangan berpangkat pecahan dapat dinyatakan dengan bilangan dalam tanda akar.



Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai  dengan a adalah bilangan pokok/basis dan n adalah indeks/eksponen akar. Bentuk akar dan pangkat memiliki kaitan erat. Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu. Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat, bilangan pecahan murni, dan bilangan pecahan desimal. Sedangkan, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan irasional, misalnya √2= 1,414213562373..., e = 2,718..., = 3,141592653… dan sebagainya.
Bilangan irasional yang menggunakan tanda akar (√ ) dinamakan bentuk akar. Tetapi ingat, tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irasional. Contoh:  dan bukan bentuk akar, karena nilai adalah 5 dan nilai  adalah 8, keduanya bukan bilangan irasional. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.



Menurut kamu, adakah hubungan antara bentuk pangkat pecahan dengan bentuk akar?
Perlu kamu ketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar.

Berdasarkan Sifat-4, jika a adalah bilangan real dengan a > 0,  dan  adalah bilangan pecahan n ≠ 0 maka .



Perhatikan bentuk bilangan berpangkat pecahan yang dinyatakan dalam bentuk akar!




Contoh 8


Bagaimana contoh penggunaan suatu bilangan berpangkat? Perhatikan contoh berikut ini!

Contoh 9
Suatu bakteri setelah infeksi, berubah jumlahnya setiap jam menurut fungsi , tentukan jumlah bakteri pada jam ke-3 , ke-4 dan kelima serta apa yang dapat kamu simpulkan, ujilah kesimpulanmu

Penyelesaian
t=3 jumlah bakteri = f(3)= 3^24-9 = 3¹⁵ = 14.348.907
t=4 jumlah bakteri =f(4)= 3^32-16 = 3¹⁶ = 43.046.721
t=5 jumlah bakteri =f(5)= 3^40-25 = 3¹⁵ = 14.348.907

Jumlah bakteri mencapai jumlah terbanyak pada jam ke-4, selanjutnya menurun Jika pada t=6 jumlahnya lebih sedikit dari pada jam ke-5, bukti t=6 jumlah bakteri =f(6)= 3^48-36 = 3¹² = 531.441

Apakah kamu tahu cara mengoperasikan dua bilangan bentuk akar atau lebih? Berikut ini akan dijelaskan operasi pada bentuk akar.

a. Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r ≥ 0 berlaku sifat-sifat berikut.

Coba kamu selesaikan contoh berikut!

Contoh 10
Tentukaan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana!

b. Operasi perkalian dan pembagian bentuk akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa . Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar dapat kamu cermati pada beberapa contoh berikut.

Contoh 11


Untuk menambah pemahaman kamu, carilah contoh-contoh bentuk perkalian dan pembagian bentuk akar lainnya, kemudian diskusikan dengan temanmu!

c. Merasionalkan penyebut bentuk akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti  dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional. Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut.

Sekarang, selidikilah bagaimana cara merasionalkan bentuk

Jika kamu mengalami kesulitan, carilah buku-buku sumber lainnya atau melalui internet dan diskusikan dengan gurumu. Selamat mencoba!