Barisan dan Deret Geometri

Uraian

Barisan Geometri

Apakah kamu pernah menabung di bank? Jika ya, tentunya kamu diberikan buku tabungan oleh bank. Pernahkah kamu mencermati perubahan nilai-nilai uang kamu per bulan dalam buku tabungan? Perubahan nilai uang kamu yang tertera dalam buku tabungan berubah sesuai dengan tingkat bunga bank tempat kamu menabung. Nah, perubahan nilai uang kamu dalam buku tabungan merupakan salah satu contoh bentuk barisan geometri.

Bank dan buku tabungan

Apa yang kamu ketahui tentang barisan dan deret geometri? Coba kamu sebutkan kejadian sehari-hari lainnya yang terkait dengan barisan atau deret geometri.
Dalam Kegiatan Belajar 3 ini, kamu akan mempelajari tentang Barisan dan Deret Geometri. Silahkan kamu simak uraian berikut ini.
Amin menjatuhkan bola dari atas meja yang tingginya 120 cm. Setiap kali menyentuh lantai memantul kembali setengah dari tinggi semula. Berapa tingginya setelah memantul yang ke-8.



Jadi ketinggian bola setelah mantul ke-8 adalah 1,875 cm.
Selanjutnya, perhatikan juga contoh kasus berikut ini!
Dani memiliki selembar kertas, berikut disajikan selembar kertas.

Selembar kertas

Kemudian Dani melipatnya menjadi dua bagian yang sama besar.

Selembar kertas pada lipatan pertama

Kertas yang terlipat ini, kemudian dilipat dua lagi olehnya

Selembar kertas pada lipatan kedua

Dani terus melipat dua kertas yang sudah terlipat sebelumnya. Kemudian ia membuka hasil lipatan kertas tersebut setiap setelah melipatnya. Dani menemukan sebuah pola bagian kertas yang terbentuk setelah dilipat yang disajikan sebagai berikut.

Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang sama, yaitu
bilangan ini disebut barisan geometri.

Jadi apa yang dimaksud dengan barisan geometri? Berdasarkan kasus tinggi pantulan bola dan banyaknya bagian kertas yang terbagi setelah dilipat maka dapat disimpulkan bahwa barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai perbandingan (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio dinotasikan r yang merupakan nilai perbandingan dua suku berurutan. Nilai r dinyatakan dengan
Agar kamu semakin memahami tentang barisan geometri, pelajarilah contoh-contoh berikut ini!

Contoh 1
Tentukan suku ke 10 dari barisan geometri 1, 3, 9, 27, ...

Penyelesaian

Berikut ini beberapa contoh penerapan barisan geometri.
Menurut Robert Malthus, dalam mengukur Pertumbuhan Penduduk mengikuti Barisan Geometri (Ukur), Secara Matematis dapat dirumuskan:

Contoh 3
Di Kota P pada tahun 2002 jumlah penduduknya sebanyak 4.000.000 jiwa. menurut historis perhitungan tingkat pertumbuhan penduduknya sebesar 5% pertahun. Berapa jumlah penduduk di Kota P tahun 2006?


Nah, coba kamu cari penyelesaian dari soal berikut!
Tentukan k sehingga tiga suku 2k+2, 5k-11, 7k-13 membentuk barisan geometri!
Kamu sudah mendapat jawabannya? Bandingkan dengan jawaban berikut ini, silakan tekan tombol

Apakah kamu sudah memahami materi barisan geometri? Jika ya, ikutilah materi selanjutnya tentang deret geometri.

Deret Geometri

Perhatikan gambar kelompok kumpulan kelereng berikut

Kelompok kelereng

Berapakah banyaknya semua kelereng  jika ada  7 kelompok? Jika kamu akan menghitung tanpa rumus, perhatikan cara berikut ini!

atau 

Selanjutnya perhatikan contoh penyelesaian deret geometri berikut!

Contoh 1

Penyelesaian

Contoh 2

Deret dalam Mengukur Bunga Majemuk
Model deret untuk bunga majemuk (Bunga berbunga) ialah barisan geometri khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan. Transaksi dengan model ini disebut kredit.

Rumus:

Rumus ini untuk kredit sistem pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali. Sebaiknya jika suku bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun rumusnya menjadi:



Dimana :  
Fn = Jumlah nilai kredit dengan n periode   
i   = Suku bunga kredit   
P   = Jumlah nilai kredit awal periode   
n   = Banyaknya tahun

Perhatikan contoh penyelesaian berikut!
Adi kredit motor dengan uang muka Rp 10.000.000,- sisa kreditnya yaitu Rp 30.000.000,- dengan suku bunga kredit 2% per bulan dalam jangka waktu 2 tahun. Berapakah jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan dan berapakah jumlah harga motor?

Diketahui :
   P = 30.000.000
   i  = 2% = 0,02
   n = 2 tahun = 2.12 = 24

Ditanyakan : Berapakah jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan dan berapakah jumlah harga motor?

Jadi, jumlah kredit setelah jatuh tempo pelunasan adalah Rp 48.253.117,48 Sedangkan harga motor sebesar  = Fn + 10.000.000    
                                                 = 48.253.117,48 + 10.000.000  
                                                 = 58.253.117,48

Deret tak hingga

Deret tak hingga adalah deret geometri konvergen atau suku-sukunya mengecil untuk nilai n tak hingga


Perhatikan contoh berikut!
Contoh 1


Penyelesaian Deret tersebut merupakan deret tak hingga dengan a = ½ dan r = ½, sehingga jumlah deret tak hingga dapat diperoleh dengan

Contoh 2

Penyelesian