Penerapan Persamaan dan Fungsi Kuadrat

PENDAHULUAN

 Hallo, apa kabar? Baik-baik saja bukan? Semoga Anda dalam keadaan sehat-sehat selalu. Kami berharap Anda sudah siap untuk mempelajari modul ini. Kali ini Anda akan mempelajari modul yang berjudul “PENERAPAN PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT”.Untuk mempelajari modul ini Anda harus mengingat kembali beberapa materi penunjang yang pernah Anda pelajari pada modul sebelumnya, antara lain: pengertian persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, penyelesaian persamaan kuadrat, dan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat serta pembuat nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat. Hal ini akan sangat membantu Anda dalam mempelajari modul ini dengan hasil yang baik.
Cakupan materi modul ini meliputi pengertian, pemahaman, dan keterampilan, oleh karena itu, selain dijelaskan tentang pengertian, juga diberikan beberapa contoh soal, soal latihan uji kompetensi, dan tugas mandiri. Keseriusan Anda dalam mempelajari modul ini menjadi kunci keberhasilan Anda. Pemahaman Anda terhadap materi modul ini akan bermanfaat untuk mempelajari matematika di tingkat yang lebih tinggi maupun mata pelajaran lain, misalnya fisika, teknik, dan ekonomi.
Tujuan mempelajari modul ini adalah melakukan manipulasi aljabar, menentukan besaran masalah, merancang/merumuskan model matematika dan menyelesaikan model matematika tersebut serta menafsirkan solusi masalahnya yang berkaitan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
Agar mudah dipelajari, modul ini dibagi menjadi dua kegiatan belajar, yaitu:

Kegiatan 1:	Model matematika yang berkaitan dengan persamaan dan Fungsi kuadrat. Materi yang akan dibahas di sini adalah tentang model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.
Kegiatan 2:	Penyelesaian Permasalahan yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat. Materi yang akan dibahas disini adalah penyelesaian dari model matematika dan tafsiran terhadap solusi masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.

Pelajari modul ini setahap demi setahap sampai Anda benar-benar paham. Demikian juga dengan soal-soal latihan uji kompetensi dan tugas mandiri yang tersedia, Anda harus mengerjakanya dan usahakan hasilnya benar. Jika mengalami kesulitan, diskusikanlah dengan teman sejawat atau tanyakan langsung kepada Guru Bina pada saat tatap muka.
Anda memerlukan waktu minimal 18 jam untuk mempelajari modul ini termasuk menyelesaikan soal-soal tugas mandiri yang ada di dalam modul. Untuk menghitung skor yang Anda peroleh gunakan rumus sebagai berikut:

Apabila Anda memperoleh skor 65%, bagus! Berarti Anda telah menguasai materi modul ini dan dapat melanjutkan mempelajari materi berikutnya. Tetapi apabila skor Anda <65 anda="" benar-benar="" font="" harus="" ini="" kembali="" materi="" modul="" paham.="" pelajari="" sampai="">
Selamat belajar semoga berhasil. Yakinkan diri Anda bahwa Insya Allah akan berhasil dengan baik. Belajarlah dengan sungguh-sungguh dan semangat yang tinggi. Jangan lupa berdoalah kepada Allah SWT agar diberi kemudahan belajar.
.....................

Model Matematika yang Berkaitan dengan Fungsi Kuadrat

Anda baru saja mempelajari materi tentang menyusun model matematika dari suatu permasalahan yang berkaitan dengan persamaan kuadrat. Kali ini Anda akan mempelajari materi tentang menyusun model matematika dari suatu permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjelasan berikut ini.
Dalam kehidupan sehari-hari tentunya Anda sering menjumpai suatu permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Oleh karena itu nilai ekstrim (maksimum atau minimum) berperan penting dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

Nilai maksimum atau minimum diungkapkan dengan menggunakan kata-kata yang berbeda, misalnya:
a)	terbesar, terjauh, tertinggi, terpanjang, terluas, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai maksimum fungsi kuadrat.
b)	terkecil, terdekat, terendah, terpendek, tersempit, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai minimum fungsi kuadrat.

Apabila dalam suatu masalah terdapat kata-kata seperti di atas, maka hal ini merupakan petunjuk bahwa masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui bahwa karakteristik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah pemecahan masalahnya selanjutnya adalah sebagai berikut:
1)	Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk mendapatkan hubungan atau ekspresi matematikanya.
2)	Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah.
3)	Tentukan penyelesaian dari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh pada langkah 2.
4)	Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula.

Pada materi ini Anda akan mempelajari sampai dengan langkah 2, selanjutnya langkah 3 dan langkah 4 akan Anda pelajari pada kegiatan 3 bagian 2.
Agar Anda lebih memahami dan terampil menyusun model matematika dari suatu masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat, perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1:
Jumlah dua buah bilangan adalah 10.
Jika hasil kali kedua bilangan itu maksimum, tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
Langkah 1:
Misalkan dua buah bilangan itu masing-masing adalah x dan y, maka x + y =10.

Langkah 2:
•)	Hasil kali kedua bilangan itu = x.y
•)	Anda rancang x sebagai variabel bebas permasalahan tersebut, maka variabel y dapat Anda ubah menjadi y = 10 – x.
•)	Selanjutnya, hasil kali kedua bilangan itu Anda nyatakan sebagai fungsi H, maka: H = x . y
•)	Subtitusikan y = 10 – x ke persamaan H = x.y, maka diperoleh:
		H = x(10 – x)
		H = 10 x – x2
H dapat Anda nyatakan sebagai fungsi kuadrat dalam x, dan ditulis menjadi H(x) = 10x – x2.
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah H(x) = 10x – x2.

Bagaimana? Apakah Anda mengalami kesulitan? Jika ya, diskusikanlah dengan teman-teman atau tanyakan kepada guru bina pada saat tatap muka. Agar Anda lebih paham lagi, perhatikan contoh 2 di bawah ini.
Contoh 2 :
Selisih dua buah bilangan adalah 8.
Jika hasil kali kedua bilangan itu minimum, maka tentukan model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab :
Langkah 1 :
Misalkan dua buah bilangan itu masing-masing adalah x dan y, maka x – y = 8.

Langkah 2 :
•)	Hasil kali kedua bilangan itu = x  y
•)	Anda rancang y sebagai variabel bebas dari fungsi kuadrat yang merupakan model matematika permasalahan tersebut, maka variabel x diubah menjadi x = y + 8.
•)	Selanjutnya, hasil kali kedua bilangan Anda nyatakan sebagai fungsi H, maka: H = x  y
•)	Subtitusikan x = y + 8 ke persamaan H = x  y, maka diperoleh:
		H = (y + 8)  y
		H = y2 + 8y
H dapat Anda nyatakan sebagai fungsi kuadrat dalam y, dan ditulis menjadi H(y) = y2 + 8y

Catatan : Anda juga dapat menyatakan H sebagai fungsi kuadrat dalam x.
Jawabannya adalah	H(x) = x2 - 8x
Setelah memperhatikan dua contoh di atas? Sudah pahamkah Anda? Untuk menambah pemahaman Anda cermati contoh 3 di bawah ini.

Contoh 3 :
Suatu persegi panjang kelilingnya 40 cm.
Agar luas persegi panjang maksimum tentukan model matematika yang berkaitan dengan permasalahan tersebut dengan panjangnya sebagai variabel bebas.
Jawab : 
Buat sketsa persegi panjang sebagai berikut:

•)	Karena alas (x) sebagai variabel bebas maka persamaan x + y = 40 diubah menjadi y = 40 - x
•)	Luas segitiga siku-siku Anda nyatakan sebagai fungsi L,
	Maka : L=		. alas . tinggi
	L=		xy
•)	Subtitusikan y = 40 – x ke persamaan
	L =		xy, maka diperoleh:
	L =		x(40 – x)
	L =
L dapat dinyatakan sebagai fungsi kuadrat dalam x, dan ditulis menjadi :
	L (x) =
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah: L(x) =

Anda telah mempelajari beberapa contoh merancang model matematika suatu permasalahan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Apakah Anda sudah paham? Jika sudah, bagus! Atau mungkin Anda lelah? Jika lelah, istirahatlah sejenak sebelum melanjutkan ke contoh 5.
Nanti setelah Anda merasa segar, Anda dapat pelajari contoh 5.
Contoh 5:
Kawat ram yang panjangnya 100 m akan digunakan untuk memagari kandang ayam seperti Gambar 1-3 (b).
Kandang ayam tersebut berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya adalah tembok.

Gambar 1-3

Tentukan model matematika yang berkaitan dengan permasalahan tersebut agar diperoleh luas kandang ayam maksimum!

Jawab :
•)	Buat dahulu sketsa kandang ayam tersebut menjadi :

Misalkan:	panjang (p) = x cm
	Lebar (l) = y cm

Keliling persegi panjang = 2(p + l)
	40	=	2(x + y) (kedua ruas dibagi 2)
	20	=	x + y
	x + y	=	20
Karena panjang (x) sebagai variabel bebas, maka persamaan x + y = 20 diubah menjadi y = 20 – x.
Apabila luas panjang dinyatakan sebagai fungsi L,
Maka:	L = p . l
	L = x . y
Subtitusikan y = 20 – x ke persamaan L = x . y, maka diperoleh:
	L = x (20 – x)
	L = 20x – x2
L dapat Anda nyatakan sebagai fungsi kuadrat dalam x, dan ditulis menjadi L(x) = 20x – x2
Jadi model matematika dari permasalahan di atas adalah L(x) = 20x – x2

Bagaimana, tidak sulit bukan? Apakah dapat dipahami?
Agar Anda lebih paham dan termpil menguasai materi di atas, cermati contoh 4 di bawah ini.
Contoh 4:
Sebuah segitiga siku-siku jumlah kedua sisi siku-sikunya = 40 cm. Agar segitiga siku-siku itu mempunyai luas maksimum, maka nyatakan model matematika yang berkaitan dengan permasalahan tersebut dengan alasan sebagai variabel bebas.

....................

Penyelesaian dari Model Matematika dan Tafsiran Solusi Masalah yang Berkaitan dengan Fungsi Kuadrat.

Pada kegiatan 1 bagian 2 telah Anda pelajari merumuskan model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Kali ini Anda akan mempelajari kelanjutan materi tersebut yaitu menyelesaikan model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat dan menafsirkan solusi masalahnya.
Untuk lebih jelasnya, Anda simak beberapa contoh di bawah ini.
Contoh 1:
Jumlah dua buah bilangan adalah 10
Jika hasil kali bilangan itu maksimum maka tentuka bilangan-bilangan tersebut dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!

Jawab :
•)	Misalkan: bilangan-bilangan tersebut adalah x dan y, maka x + y = 10
		y = 10 – x
•)	Hasil kali kedua bilangan itu adalah: H = x . y
		H = x (10 – x)
		H = 10x – x2
•)	H merupakan fungsi dalam x yaitu: H(x) = 10x – x2
		H(x) = – x2 + 10x
	Berarti a = -1, b = 10, dan c = 0
•)	Nilai maksimum H dicapai untuk :
	x =
	x =
	x =
	x =	5
	Untuk x = 5, maka y = 10 – x
		y = 5

•)	Penafsiran solusi masalahnya: Kedua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah 5 dan 5, sehingga hasil kalinya = 5 x 5 = 25. Anda sudah paham? Bagus! Agar Anda lebih paham dan terampil menyelesaikan soal-soal, perhatikan contoh 2 di bawah ini

Contoh 2
Selisih dua bilangan adalah 8.
Tentukan hasil kali minimum bilangan tersebut dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!

Jawab :
•)	Misalkan: bilangan-bilangan itu adalah x dan y, maka x - y = 8
		x = y + 8
•)	Hasil kali kedua bilangan itu adalah: H = x . y
		H = (y + 8) . y
		H = y2+ 8y
•)	H merupakan fungsi kuadrat dalam y yaitu: H(y) = y2+ 8y
	Berarti a = 1, b = 8, dan c = 0
	Nilai minimum H adalah =
	=
	=
	=		- 16

•)	Penafsiran solusi masalahnya: Dua bilangan yang selisihnya adalah 8, maka hasil kali minimum kedua bilangan itu sama dengan -16.

Sudah pahamkah Anda setelah mempelajari dua contoh di atas?
Baiklah, untuk menambah pemahaman Anda cermati contoh 3 di bawah ini.
Contoh 3:
Sebidang tanah berbentuk persegi panjang kelilingnya 40 m.
Tentukan panjang dan lebar tanah tersebut agar luasnya maksimum!

Jawab:
•)	Anda buat sketsa tanah seperti gambar di bawah ini :

•)	Misalkan: panjang (p) = x m lebar (l) = y m
•)	Keliling tanah = 2 (p + l) 40  =  2 (x + y) 40/2  =  x + y 20  =  x + y x + y  =  20 y  =  20 – x
•)	Luas tanah = p . l  L = x . y  L = x (20 – x)  L = 20x – x2
•)	L merupakan fungsi kuadrat dalam x yaitu: L (x) = 20x – x2   L (x) = – x2 + 20x   berarti a = -1, b = 20, dan c = 0.     Agar L maksimum maka x =  x =  x =  x = 10 Untuk x = 10 maka:  y = 20 – x  y = 20 – 10  y = 10

•)	Penafsiran solusi masalahnya: panjang tanah = x = 10 m lebar tanah = y = 10 m

Karena panjang tanah sama dengan lebarnya maka tanah tersebut berbentuk persegi dengan sisi-sisinya berukuran 10 m.
Setelah mencermati contoh-contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Untuk lebih memahami, cermati contoh 4 di bawah ini.
Contoh 4 :
Kawat ram yang panjangnya 100 m akan digunakan untuk memagari kandang ayam seperti gambar di bawah ini.


Kandang ayam tersebut berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya adalah tembok.
Tentukan ukuran kandang tersebut agar luas kandang maksimum dan berikan penjelasan tafsiran dari solusi masalahnya!

Jawab:
•)	Anda buat sketsa kandang ayam seperti gambar berikut:
•)	Berdasarkan gambar di atas, keliling pagar ayam = panjang kawat ram y + x + y  =  100 x + 2y  =  100 x  =  100 - 2y
•)	Luas kandang ayam = panjang x lebar     L = x . y     L = (100 – 2y) . y     L = 100y – 2y2   L = -2y2 + 100 y
•)	L merupakan fungsi kuadrat dalam y yaitu: L (y) = -2y + 100 y   berarti a = -2, b = 100, dan c = 0.