Relasi dan Fungsi

Uraian

Relasi dalam kehidupan sehari-hari sering kamu jumpai hubungan antar manusia, misal: anak dari, ayah dari, ibu dari, saudara dari, kakek dari, dan nenek dari. Untuk membicarakan hubungan-hubungan tersebut ada kelompok manusia. Misal untuk membicarakan hubungan ‘anak dari,’ diperlukan kelompok ‘anak’ dan kelompok ‘orang tua.’ Dalam matematika, kelompok disebut dengan himpunan. Himpunan mempunyai anggota. Suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kapital (huruf besar), misal A, B, C,.... Anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil, misal a, b, c, .... Untuk menyajikan himpunan dapat dilakukan dengan beberapa cara.  Berikut contoh penyajian himpunan:

1. Himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan 1, 2, 3. kamu dapat menyajikannya  dengan mendaftar anggotanya satu persatu. Kemudian kamu menulisnya sebagai A = { 1, 2, 3 }. Penulisan himpunan seperti cara ini disebut penyajian himpunan dengan cara mendaftar. Perhatikan bahwa anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan dengan tanda koma dan diletakkan diantara kurung kurawal { }.
2. H adalah himpunan pancaindra manusia. Anda dapat menyajikan dengan menulis batasan anggota himpunan tersebut, misalnya H={pancaindra manusia}, anda juga dapat menulis seluruh anggotanya misalnya , H = {penciuman, perasa, pendengaran, penglihatan, peraba}

Relasi adalah aturan yang menghubungkan dua himpunan. Suatu relasi  R dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu hubungan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Perhatikan gambar berikut :

Animasi di atas menggambarkan Relasi antara himpunan A beranggotakan celana dan dengan Himpunan B yang beranggotakan baju merupakan pasangan pakaian Celana dan baju

Relasi diatas dapat ditulis 
A= {Celana merah, celana biru, Celana kuning},
B={Baju ungu, baju hijau, baju kuning, baju merah}
R= {(Celana merah, baju ungu),(Celana merah, baju hijau),(Celana biru, baju kuning)}

Pada relasi aturan yang menghubungkan dua himpunan dapat diberikan langsung dengan pasangan berurutan atau diagram panah, seperti contoh animasi di atas.
 

Bentuk-Bentuk Tampilan  Relasi

Relasi dapat juga diberikan dalam pernyataan yang menghubungkan  anggota  himpinan A ke anggota himpunan B
Contoh pernyataan relasi :
1. Akar dari,  maksudnya anggota A akar dari anggota B
2. Kurang dari,  maksudnya anggota A lebih kecil dari anggota B
3. Kuadrat ditambah satu adalah, maksudnya kuadrat dari anggota A ditambah 1 adalah anggota B

Relasi dapat ditampilkan dalam diagram panah, tabel, pasangan berurutan dan grafik kartesius.
Untuk jelasnya, perhatikan gambari Berikut:



Pada relasi diatas hubungan antara himpunan A dengan Himpunan B didefinisikan dengan pernyataan yang jelas, yaitu Anggota himpunan A adalah faktor dari anggota himpunan B.
Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa:

 adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B
Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan himpunan B disebut daerah kawan kodomain. Anggota himpunan B yang menjadi bayangan anggota himpunan A, disebut daerah hasil atau range.

a R b atau R(a,b) berarti  a berelasi dengan b, b disebut bayangan dari a
berarti  a tidak berelasi dengan b.

Relasi R adalah himpunan bagian dari perkalian himpunan A dengan B atau  adalah pasangan berurutan yang mungkin anggota himpunan A dengan himpunan B.
dari animasi diatas dapat dijelaskan

Domain, A={2,3,4}
Kodomain, B={6,8,9}
 “ adalah faktor dari “,
2 berelasi dengan 6 ditulis 2 R 6 , atau R(2,6)
2 berelasi dengan 8 ditulis 2 R 8 , atau R(2,8)
3 berelasi dengan 6 ditulis 3 R 6 , atau R(3,6)
3 berelasi dengan 9 ditulis 3 R 9 , atau R(3,9)
4 berelasi dengan 8 ditulis 4 R 8 , atau R(4,8)

Jika anggota A tidak berelasi dengan B ditulis a R b atau R(a,b) , misalnya R (3,8).

Dari data di atas dapat dinyatakan :
R = {(2,6),(2,8),(3,6),(3,9),(4,8)},
AXB = {(2,6),(2,8),(2,9), (3,6),(3,8),(3,9), (4,6),(4,8),(4,9)}
R , R adalah himpunan bagian dari AxB

Seperti pada animasi diatas penyajian relasi dapat dinyatakan dalam diagram panah, tabel, pasangan berurutan. Selain itu penyajian relasi juga dapat dinyatakan dalam diagram kartesius.

Pada diagram panah, himpunan A harus digambar disebelah kiri dan B disebelah kanan. Setiap panah menghubungkan setiap relasi dari anggota himpunan A ke anggota himpunan B dari kiri ke kanan.

Pada tabel, kolom pertama menyatakan daerah asal dan kolom kedua menyatakan daerah hasil. Setiap anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota B, dipasangkan pada satu baris yang sama.

Pada himpunan pasangan berurutan setiap pasangan (a,b) dipisahkan dengan koma sebagai anggota himpunan R. Setiap pasangan (a,b) tidak dapat ditukar menjadi (b,a).
Pada diagram kartesius anggota himpunan A dinyatakan dalam sumbu x dan Setiap anggota himpunan B dinyatakan dalam sumbu y. Setaiap relasi a R b atau R (a,b) dinyatakan dalam sebuah noktah (o) , perhatikan gambar di samping ini:

contoh

A ={Bilanga Asli kurang dari 5}
B ={Bilangan asli kurang dari 20}
Relasi R “ dua kali angota A tambah 1 adalah anggota B”

a. Tentukan pasanga berurutan relasi tersebut
b. Tentukan daerah asal, daerah kawan dan daerah hasil atau Range
Jawaban:
Kita gunakan tabel

A	1	2	3	4	5
B	2.1+1	2.2+1	2.3+1	2.4+1	2.5+1
	3	5	7	9	11

a. Pasangan berurutan, R ={(1,3), (2,5),(3,7),(4,9),(5,11)}
b. Daerah asal adalah himpunan A
    Daerah kawan adalah himpunan B
    Daerah hasil atau range, D={3,5,7,9,11}

.....................

Fungsi

Uraian

Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.

Secara tunggal maksudnya adalah semua  anggota A harus dipasangkan dengan anggota B dan setiap anggota A hanya  dipasangkan sekali
Himpunan A disebut Domain atau daerah asal dan Himpunan B disebut Kodomain. atau kawan. Anggota Himpunan B yang terhubung dengan anggota himpunan A disebut peta atau bayangan. Himpunan yang anggotanya semua bayangan fungsi disebut Range atau daerah hasil. Jadi daerah hasil atau range adalah himpunan bagian dari daerah kawan atau kodomain.
Perhatikan gambar berikut :

Perhatikan bahwa anggota Himpunan A yaitu celana semuanya dipasangkan dan hanya satu kali dengan anggota Himpunan B

Pada fungsi hubungan anggota himpuanan A dengan anggota himpuanan B dapat diberikan langsung atau didefinisikan, tetapi umumnya di definisikan.
Perhatikan contoh berikut

Pada contoh di atas himpunan A={1,2,3} disebut daerah asal atau Domain ( Df) dan B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, daerah kawan atau kodomain(Kf). Sedangkan  Range ( Rf) atau daerah hasilnya adalah Rf = {1,4,9}
jika Domain dan Range tidak didefinisikan yang dimaksud adalah bilangan Real.
Hubungan antara anggota domain dan kodomainnya dinyatakan dengan a F b.
a F b atau F(a,b) dibaca  a Fungsi b , b disebut peta atau bayangan dari a dan a disebut pra peta dari b.
a F b digunakan untuk menyatakan  a tidak berhubungan dengan b, atau banyangan a bukan b.
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)

Sehingga fungsi diatas dapat ditulis f : x → y = x2
atau disingkat y = x2 atau f(x) = x2
 Df = {1,2,3}
 Kf = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

dengan notasi fungsi ini, fungsi mudah digambarkan dalam sumbu koordinat kartesius.
Perlu diingat bahwa setiap fungsi adalah relasi, tetapi tidak semua relasi adalah fungsi. Karena fungsi adalah relasi khusus yang mempunyai hubungan fungsional.

Untuk membedakan apakah suatu relasi adalah suatu fungsi dapat menggunakan pedoman sebagai berikut :

1. Pada diagram panah, yang perlu diperhatikan adalah himpunan A atau himpunan sebelah kiri, yaitu : setiap anggota A habis terpasang dan tidak ada percabangan pada setiap anggota A. 
2. Pada tabel, yang perlu diperhatikan adalah kolom himpunan A tidak ada elemen anggota A yang sama. 
3. Pada pasangan berurutan elemen prapeta (elemen pertama setiap pasangan) tidak ada yang sama. 
4. Pada grafik cartesius , jika garis vertikal digerakan dari posisi paling kiri sampai paling kanan tidak memotong kurva lebih dari satu kali dan tidak menemui daerah kosong.

Sifat Fungsi

Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut :
 

• Injektif (Satu-satu)

Misalkan fungsi f yang memetakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu(injektif), apabila setiap  elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada  elemen yang berbeda di B.

Untuk menentukan apakah suatu fungsi adalah fungsi satu-satu, kamu dapat menggunakan pedoman berikut ini :

1. Pada diagram panah, kalau pada himpunan B ada ada peta yang memiliki pra peta lebih dari satu berarti bukan fungsi-satu-satu
2. Pada pasangan berurutan, kalau ada elemen peta yang sama berarti bukan fungsi-satu-satu.
3. Pada grafik kartesius , kalau kalian menggeser garis mendatar, ada yang memotong kurva lebih dari sekali maka bukan fungsi satu-satu

Perhatikan gambar berikut ini!

 

•  Surjektif (Onto)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B disebut fungsi surjektif jika setiap elemen Himpunan B sekurang-kurangnya merupakan peta dari satu elemen anggota Himpunan A.

Untuk menentukan apakah suatu fungsi adalah fungsi satu-satu, kamu dapat menggunakan pedoman berikut ini :

1. Pada diagram panah, kalau pada himpunan B ada anggota yang tidak punya pasangan berarti bukan fungsi sujektif
2. Pada pasangan berurutan untuk membedakannya apakah fungsi surjektif atau bukan, kita harus melihat himpunan B. Kalau ada anggota himpunan B  yang tidak punya pasangan berarti bukan fungsi sutjektif.
3. Pada grafik kartesius , kalau kalian menggeser garis mendatar dari paling bawah ke paling atas dan menemukan ada posisi yang tidak memotong kurva maka bukan fungsi surjektif.

Perhatikan gambar berikut ini !

• Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi bijektif jika setiap elemen anggota A dipetakan berbeda dengan anggota B dan setiap anggota B adalah peta dari elemen  himpunan A.
Fungsi bijektif adalah fungsi injektif dan surjektif sekaligus atau  A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”

 

Untuk menentukan apakah suatu fungsi adalah fungsi satu-satu, kalian dapat menggunakan pedoman berikut ini :

1. Pada diagram panah, kalau banyaknya anggota himpunan A dan B sama dan setiap anggota punya pasangan, berarti fungsi bijektif.
2. Pada pasangan berurutan, jika setiap prapeta ( elemen pertama pasangan berurutan) berbeda dan setiap peta ( elemen kedua pasangan berurutan) juga berbeda berarti fungsi bijektif.
3. Pada grafik kartesius , kalau kamu menggeser garis mendatar dari paling bawah sampai paling atas tidak memotong kurva lebih dari sekali dan selalu berpotongan dengan kurva, maka fungsi tersebut fungsi bijektif atau perkawanan satu-satu.

Perhatikan gambar berikut ini !

Jenis – jenis Fungsi

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D, maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). untuk memudahkan penulisan kita akan menuliskan fungsi dalam bentuk yang lebih sederhana. Misalnya suatu fungsi pada bilangan real, memetakan dari setiap anggotanya x dengan kuadratnya,
f: R → R
    x → x2   dapat ditulis
f: x → y = x2
selanjutnya dapat di tulis f(x) = x2 atau y = x2 yang dikenal dengan rumus fungsi.

Dengan rumus fungsi tersebut kita dapat menulis bermacam-macam fungsi yang memiliki karakteristik berbeda beda. Ada fungsi yang untuk semua anggota domain selalu mempunyai nilai tetap, ada fungsi yang hasilnya selalu bilangan postif dan sebagainya.

Berdasarkan karakteristik fungsi tersebut kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut:

1. Fungsi Konstan
2. Fungsi Identitas
3. Fungsi Multak
4. Fungsi Linear
5. Fungsi Kuadrat

Jenis fungsi tersebut akan mudah dikenali berdasarkan grafiknya. Fungsi dengan daerah asal dan daerah kawan bilangan bulat bentuk grafiknya adalah noktah-noktah. Sedangkan grafik fungsi dengan daerah asal  dan daerah kawan bilangan real grafiknya adalah sebuah kurva. Pada fungsi dengan daerah asal dan daerah hasil bilangan real maka tabel atau pasangan berurutan yang disajikan adalah perwakilan titik-titik tertentu untuk membantu pembuatan grafik.
 

• Fungsi Konstan

Fungsi konstan didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan setiap anggota domain ke suatu nilai yang sama (konstanta).
Bentuk umum y = k (k adalah bilangan konstan)



Karena domaiannya bukan bilangan real maka grafiknya berbentuk noktah (O) atau titik. Kalau Domain dan kodomainnya bilangan real maka grafiknya berbentuk garis yang sejajar sumbu x.

• Fungsi identitas

Fungsi identitas adalah fungsi yang nilai  semua nilai anggota domainnya sama dengan nilai anggota bayangannya.

Bentuk umumnya y = x



Ciri-ciri Fungsi Identitas

1. Peta dan prapeta selalu sama,  dapat ditulis a F a, atau  F(a,a)
2. Persamaan fungsinya f(x) = x
3. Grafik Fungsi Identitas adalah garis lurus yang membentuk sudut 45o terhadap sumbu x positif dan melalui pusat koordinat O(0,0)
4. Termasuk fungsi bijektif

• Fungsi Mutlak

fungsi mutlak adalah fungsi yang nilai bayangannya selalu positif.
contoh fungsi y = |2x+1|
Ikuti animasi berikut ini



Fungsi mutlak dengan bentuk f(x) = |ax+b|, mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :

1. Semua nilai bayangan selalu positif
2. Grafik fungsi berbentuk garis lurus dengan dua ruas garis yang berpotongan di sumbu x
3. termasuk fungsi bijektif

• Fungsi Linear  

Fungsi linear adalah fungsi bentuk y = f(x)  dgn pangkat tertinggi x adalah 1
bentuk umum f(x) = ax + b
contoh fungsi f(x) = 2x-1
Ikuti Animasi berikut ini

 

Ciri-ciri fungsi linear

1. 
2. Grafiknya berbentuk garis lurus memotong sumbu y di (0,b)
3. Termasuk fungsi bijektif

• Fungsi Kuadrat  

Adalah fungsi  berbentuk  y = f(x)  dengan pangkat tertinggi x adalah 2
bentuk umum y = ax2 + bx+c
Perhatikan contoh berikut ini dengan fungsi y = x2- 4x+3

Ciri-ciri fungsi kuadrat

1. 
2. Grafiknya berbentuk parabola, simetris terhadap sumbu yang sejajar sumbu y