Dalil Phytagoras

Kompetensi

Setelah mempelajari materi ini, maka kompetensi yang diharapkan :

1. Dapat membuktikan dalil pythagoras
2. Dapat menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, Jika dua sisi yang lain diketahui
3. Dapat mengetahui tiga buah bilangan yang merupakan tripel pythagoras
4. Dapat menentukan jenis segitiga, jika diketahui tiga buah sisi segitiga tersebut

PEMBUKTIAN  DALIL  PYTHAGORAS

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku  Dalil Pythagoras , yaitu  :

c²    =    a²   +    b²          

atau

Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus

Pembuktian Dalil Pythagoras ada 3 cara, yaitu  : 

Cara 1 :

ABCD adalah sebuah persegi dengan panjang sisinya ( a + b ), sedangkan EFGH adalah sebuah persegi dengan panjang sisi  c. 

Luas persegi EFGH	=	Luas  persegi ABCD   -   Luas diarsir
c2	=	Luas  persegi ABCD   -   4 Luas segitiga
c2	=
c2	=	a2 + 2ab +  b2         -  (  2ab  )
c2	=	a2 + 2ab +  b2          -  2ab
c2	=	a2 +  b2

Keterangan :
Luas persegi  =  sisi  x   sisi   =   s²

Luas segitiga	=
(  a  +  b  )2	=	a2 + 2ab +  b2

Cara 2 :

Perhatikan gambar di atas !
Persegi ABCD (gbr 1) kongruen dengan persegi KLMN (gbr 2), dengan panjng sisi (a+b).  Luas empat buah segitga yang diarsir pada persegi ABCD = luas empat buah segitiga yang diarsir pada persegi KLMN,  maka luas daerah yang tidak diarsir pada persegi ABCD = luas daerah yang tidak diarsir pada persegi KLMN.

Kesimpulan : 

 c²    =    a² +  b²

Keterangan :        
Luas persegi  =  sisi  x   sisi   =   s²

Luas segitiga	=
(  a  +  b  )2	=	a2 + 2ab +  b2

Cara 3 :

Perhatikan gambar di atas !
Luas persegi dengan panjang sisi a adalah 9 satuan luas ( 9 kotak ) atau a2
Luas persegi dengan panjang sisi b adalah 16 satuan luas ( 16 kotak ) atau b2

Luas persegi dengan panjang sisi c = luas persegi dengan panjang sisi a + luas persegi dengan panjang sisi b

25 satuan luas	=	9 satuan luas	+	16 satuan luas
25 satuan luas	=	25 satuan luas

Kesimpulan : 

 c²    =    a² +  b²

Keterangan :        
Luas persegi  =  sisi  x   sisi   =   s²

Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, jika dua sisi yang lain diketahui

Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku

1.	Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung dengan rumus  :   c2   =   a2   +    b2
2.	Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung dengan rumus  :   a2   =   c2   -    b2
3.	Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung dengan rumus  :   b2   =   c2   -    a2

CONTOH 1 :

Sebuah segitiga ABC siku-siku di titik A.  Panjang AB = 4 cm dan AC = 3 cm.
Hitunglah panjang BC !

CONTOH 2 :

Pada gambar di samping, diketahui a = 10 dan c = 6 cm. Hitunglah nilai b ! Tripel Pythagoras Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ? bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan : c2 = a2+b2 atau b2 = c2-a2 atau a2 = c2-b2 CONTOH : Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ? a. 9, 12, 15 b. 13, 14, 15 c. 5, 12, 13 PENYELESAIAN a.  Angka terbesar 15, maka c = 15, a =  12 dan b = 9      152     =  122   +  92      225   =   144  + 81      225   =    225     Jadi 9, 12, 15 merupakan tripel pythagoras b.  Angka terbesar 15, maka c = 15, a =  13 dan b = 14      152     ¹  132   + 142      225   ¹   169  + 196      225   ¹    365      Jadi 13, 14, 15 merupakan bukan tripel pythagoras c.  Angka terbesar 13, maka c = 13, a =  12 dan b= 5      132      =    122   +  52      169    =     144  +25      169   =      169      Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel pythagoras Jenis segitiga Hubungan nilai c2 dengan ( a2 + b2 ) dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga. Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan : c2 >  a2 + b2  , maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul c2 =  a2 + b2  , maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku c2 <  a2 + b2  , maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip CONTOH : Tentukanlah jenis segitiga berikut ( lancip, siku-siku, atau tumpul ), jika sisi-sisinya : a. 6, 8, 10 b. 0,2 ; 0,3 ; 0,4 c. 11, 12, 14 PENYELESAIAN : a.  Untuk sisi segitiga 6, 8, 10 102    =    62   +  82 100    =    36  +   64 100    =    100 Jenis segitiga adalah segitiga siku-siku b.  Untuk sisi segitiga 0,2 ; 0,3 ; 0,4 0,42     >    0,22   +  0,32 0,16     >    0,04   +  0,09 0,16    >    0,13 Jenis segitiga adalah segitiga tumpul c.  Untuk sisi segitiga 11,  12, 14 142      <    112    +  122 196     <    121   +  144  196     <    265 Jenis segitiga adalah segitiga lancip